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矩阵乘法可以找到最相似的向量，通常是因为在向量空间中，点积可以衡量两个向量之间的相似度。特别是当我们使用归一化的向量时，点积计算出的就是余弦相似度，它是衡量两个向量方向相似度的常用方式。让我们详细探讨为什么矩阵乘法能够找到最相似的向量。

向量点积的意义#

在向量运算中，两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的点积定义为：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

几何上，点积与这两个向量的长度和它们之间的夹角相关：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)$

其中：
$|\mathbf{a}|$ 和$|\mathbf{b}|$分别是向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的长度（即模）。

• $\theta$是它们之间的夹角。
• $\cos(\theta)$表示向量之间的方向相似度，当$\theta = 0$时，$\cos(0) = 1$，表示两个向量方向完全相同。

如果我们将所有向量归一化为单位向量（即模长为 1），那么它们的点积仅依赖于夹角的余弦值，变成了余弦相似度：

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$

余弦相似度与向量相似度#

余弦相似度是常用的相似度度量方法，尤其是在高维空间下（如文本嵌入向量），它衡量的是两个向量之间的方向相似性，而不是它们的距离或大小差异。其值介于 -1 到 1 之间：

• 当$\cos(\theta) = 1$时，表示两个向量完全相似，方向相同。
• 当$\cos(\theta) = 0$时，表示两个向量正交，完全不相似。
• 当$\cos(\theta) = -1$时，表示两个向量方向相反。

因此，通过点积（即矩阵乘法）计算向量之间的余弦相似度，可以找到最相似的向量。点积越大，两个向量的方向越相似，点积的值最大时表示它们最相似。

矩阵乘法在相似度搜索中的应用#

在这个例子中，查询向量与多个文档向量之间的相似度通过矩阵乘法来计算。设查询向量为 $\mathbf{q}$，所有文档的嵌入向量组成一个矩阵$\mathbf{D}$（每一行是一个文档的向量），那么我们可以通过以下矩阵乘法计算查询向量与所有文档向量的点积：

其中：

• $\mathbf{q}$是查询的嵌入向量（1×d）。
• $\mathbf{D}^T$是文档向量矩阵的转置（d×n），其中 $d$ 是嵌入向量的维度，$n$ 是文档的数量。

通过这个矩阵乘法，我们会得到一个 1×n 的向量，其中每个元素代表查询向量与对应文档向量的点积（即相似度分数）。通过比较这些分数，可以找到与查询向量最相似的文档。

总结：为什么矩阵乘法能找到相似的向量#

• 点积衡量相似度：点积的大小与向量之间的夹角直接相关，如果向量已归一化，点积就是余弦相似度，越接近 1 表示越相似。
• 高效计算：矩阵乘法能够快速计算查询向量与多个文档向量的相似度，而不需要逐个进行计算。
• 最相似向量的选择：通过计算相似度分数，找到分数最高的向量即可确定哪些文档最相似。

因此，矩阵乘法是一种高效的相似度计算方法，能够在向量空间中快速找到与查询向量最相似的其他向量。