なぜ行列の乗算が最も類似したベクトルを見つけることができるのか？

行列式の乗算は、最も類似したベクトルを見つけることができます。これは通常、ベクトル空間において、内積が二つのベクトル間の類似度を測ることができるためです。特に、正規化されたベクトルを使用する場合、内積で計算されるのはコサイン類似度であり、これは二つのベクトルの方向の類似度を測る一般的な方法です。行列の乗算がどのようにして最も類似したベクトルを見つけることができるのかを詳しく探ってみましょう。

ベクトル内積の意義#

ベクトル演算において、二つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積は次のように定義されます：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

幾何学的には、内積はこれら二つのベクトルの長さとそれらの間の角度に関連しています：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)$

ここで：
$|\mathbf{a}|$ と $|\mathbf{b}|$ はそれぞれベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の長さ（すなわちノルム）です。

$\theta$ はそれらの間の角度です。
$\cos(\theta)$ はベクトル間の方向の類似度を示し、 $\theta = 0$ のとき、 $\cos(0) = 1$ となり、二つのベクトルの方向が完全に同じであることを示します。

すべてのベクトルを単位ベクトル（すなわちノルムが 1）に正規化すると、内積は角度のコサイン値のみに依存し、コサイン類似度に変わります：

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$

コサイン類似度とベクトルの類似度#

コサイン類似度は一般的に使用される類似度の測定方法であり、特に高次元空間（例えば、テキスト埋め込みベクトル）において、二つのベクトル間の方向の類似性を測定し、距離や大きさの違いではありません。その値は -1 から 1 の間にあります：

$\cos(\theta) = 1$ のとき、二つのベクトルは完全に類似し、方向が同じです。
$\cos(\theta) = 0$ のとき、二つのベクトルは直交し、全く類似していません。
$\cos(\theta) = -1$ のとき、二つのベクトルの方向は反対です。

したがって、内積（すなわち行列の乗算）を通じてベクトル間のコサイン類似度を計算することで、最も類似したベクトルを見つけることができます。内積が大きいほど、二つのベクトルの方向はより類似しており、内積の値が最大のとき、それらは最も類似しています。

行列の乗算における類似度検索の応用#

この例では、クエリベクトルと複数の文書ベクトル間の類似度を行列の乗算を通じて計算します。クエリベクトルを $\mathbf{q}$ 、すべての文書の埋め込みベクトルを構成する行列を $\mathbf{D}$ （各行が一つの文書のベクトル）とすると、次の行列の乗算を通じてクエリベクトルとすべての文書ベクトルの内積を計算できます：

ここで：

$\mathbf{q}$ はクエリの埋め込みベクトル（1×d）です。
$\mathbf{D}^T$ は文書ベクトル行列の転置（d×n）であり、ここで $d$ は埋め込みベクトルの次元、 $n$ は文書の数です。

この行列の乗算を通じて、1×n のベクトルが得られ、その各要素はクエリベクトルと対応する文書ベクトルの内積（すなわち類似度スコア）を表します。これらのスコアを比較することで、クエリベクトルに最も類似した文書を見つけることができます。

まとめ：なぜ行列の乗算は類似したベクトルを見つけることができるのか#

内積は類似度を測る：内積の大きさはベクトル間の角度に直接関連しており、ベクトルが正規化されている場合、内積はコサイン類似度となり、1 に近いほど類似していることを示します。
効率的な計算：行列の乗算は、クエリベクトルと複数の文書ベクトルの類似度を迅速に計算でき、個別に計算する必要がありません。
最も類似したベクトルの選択：類似度スコアを計算することで、スコアが最も高いベクトルを見つけることで、どの文書が最も類似しているかを特定できます。

したがって、行列の乗算は、ベクトル空間においてクエリベクトルに最も類似した他のベクトルを迅速に見つけることができる効率的な類似度計算方法です。